eiπ + 1 = 0
Тождество Эйлера
Пять главных чисел математики встретились в одной строке. Точка бежит по единичной окружности — и после полуоборота в точности попадает в −1.
зал 00 · увертюра · доказуемо красиво
ЧИСЛО.
ФОРМА.
БЕСКОНЕЧНОСТЬ.
Математика — не скука учебника, а узоры, из которых сшита вселенная. Ниже — семь интерактивных залов: крутите кривые, сейте спирали, роняйте шары, зумьте фракталы. Красоту здесь можно проверить руками.
a : b = 3 : 2 · кривая Лиссажу справа рисуется для вас
В зал формул ↓
ЛИСТАЙТЕ, ВСЁ ЖИВОЕ
рис. 0 · кривая Лиссажуx=sin(at+δ), y=sin(bt)
3,14159 26535…π · длина окружности / диаметр
1,61803 39887…φ · золотое сечение
2,71828 18284…e · рост, начисляющий сам себя
1,41421 35623…√2 · первое иррациональное
зал 01 · формулы
Шесть экспонатов, от которых
перехватывает дыхание
Каждая формула ниже — не картинка, а живой механизм. Наведите курсор, подойдите ближе.
φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618
Золотая спираль
Пропорция, в которой целое относится к большему, как большее — к меньшему. Раковины, галактики и тайфуны закручены по этой формуле.
f(x) = Σ sin((2k−1)x)/(2k−1)
Ряд Фурье
Любой звук — сумма простых волн. Смотрите, как из синусов на ваших глазах собирается резкий прямоугольный сигнал.
∫ e−x² dx = √π
Колокол Гаусса
Случайные точки сыплются под кривую ошибок — и вдруг π всплывает там, где, казалось бы, царит хаос измерений.
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π²/6
Базельская задача
90 лет лучшие умы складывали обратные квадраты — а 28-летний Эйлер взял и получил π. Столбики растут, сумма сходится.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…
Спираль Улама
Запишите натуральные числа спиралью и подсветите простые — они выстроятся в загадочные диагонали. До сих пор не все из них объяснены.
зал 02 · спирали
Угол, который знает подсолнух
Каждое новое семя появляется под одним и тем же углом к предыдущему. Если угол «круглый» — 90° или 120° — семена выстроятся в редкие лучи и место пропадёт зря.
Но стоит взять золотой угол — иррациональный, самый «неудобный» для дроби, — и спираль заполняет диск без зазоров и без толкучки. Так делает подсолнух. Попробуйте сломать его:
137,51°
золотой угол = 360°/φ² ≈ 137,5078°
сдвиг на сотые доли градуса уже ломает узор
сдвиг на сотые доли градуса уже ломает узор
рис. 2 · филлотаксисr = c·√n, θ = n·α
зал 03 · фракталы
Часть, которая равна целому
Два правила порождают бесконечную сложность: повторение и масштаб. Слева дерево, справа — множество Мандельброта. Кликните по нему, чтобы нырнуть глубже.
рис. 3а · дерево Пифагораветвей: 2047
глубина ×1
рис. 3б · z → z² + cцентр (−0,60; 0,00)
зал 04 · случайность
Хаос, который всегда сходится
Каждый шар на каждом штыре сворачивает наугад — влево или вправо. Тысячи независимых «наугад» послушно рисуют один и тот же колокол. Это центральная предельная теорема в действии.
упало шаров: 0
КРАСНАЯ ЛИНИЯ — ТЕОРИЯ, СИНЕЕ — ЖИВОЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
рис. 4 · доска Гальтона, 12 рядовP(k) = C(12,k)/2¹²
зал 05 · природа считает
Полевые доказательства
Природа не решает уравнений — но почему-то всегда находит их самые изящные решения. Пять находок из экспедиции.
- 01Наутилус — рост без изменения формы
- 02Подсолнух — спирали Фибоначчи
- 03Соты — минимум воска, максимум объёма
- 04Снежинка — симметрия шестого порядка
- 05Романеско — съедобный фрактал
зал 06 · голоса
«Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем».— Анри Пуанкаре
«Математик, как и художник или поэт, создаёт узоры. Если его узоры менее долговечны — то лишь потому, что сотканы из идей».— Годфри Харольд Харди, «Апология математика»
«Чистая математика — поэзия логических идей».— Альберт Эйнштейн
зал 07 · хроника
Два тысячелетия красоты
−300△
«Начала» Евклида
Пять аксиом, из которых выведена вся геометрия. Эталон доказательства на две тысячи лет вперёд.
1202φ
«Книга абака»
Фибоначчи привозит в Европу восточные цифры, а заодно — последовательность кроликов, ведущую к золотому сечению.
1654∴
Паскаль ↔ Ферма
Переписка об азартной игре в кости рождает теорию вероятностей. Случайность впервые подчинилась формуле.
1734Σ
Базельская задача
28-летний Эйлер складывает обратные квадраты и получает π²/6 — задачу не могли решить почти 90 лет.
1748e
«Введение в анализ бесконечных»
Эйлер вводит понятие функции, число e — и между делом самую знаменитую формулу: e^(iπ) + 1 = 0.
1859ζ
Гипотеза Римана
Восемь страниц о дзета-функции — и величайшая нерешённая задача, хранящая тайну простых чисел.
1975✳
Фракталы
Мандельброт даёт имя «шершавым» формам природы — берегам, облакам, кронам — и рисует своё множество.
1995xⁿ
Великая теорема Ферма
Эндрю Уайлс доказывает теорему, ждавшую 358 лет. На полях книги места действительно не хватило: 200 страниц.
2003∞
Перельман и Пуанкаре
Гипотеза Пуанкаре доказана. От Филдсовской премии и миллиона долларов математик отказался. Ч.Т.Д.